Słyszeliście o ciągu Fibonacciego? Wiedzieliście, że jest on obecny w otaczającym nas świecie? Naukowcy nie wiedzą jeszcze dlaczego Matka Natura tak sobie upodobała cyfry i liczby ciągu Fibonacciego, faktem jest jednak, że zasługuje on na kilka słów wyjaśnienia.

Na początku trochę matematyki. Ciąg Fibonacciego jest ciągiem liczb naturalnych określonych w następujący sposób: pierwszy wyraz ciągu jest równy 0, drugi jest równy 1, każdy następny jest sumą dwóch poprzednich. Tym samym pierwszych kilkanaście elementów tego ciągu przedstawiają się następująco: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 itd. Za autora tego ciągu uznaje się Leonarda z Pizy, który w jednym z swoich dzieł „Liber abaci” wykorzystał ten koncept do rozwiązania jednego z zadań matematycznych.

Matematycy zauważyli, że ciąg Fibonacciego ma kilka interesujących właściwości. Tą najważniejszą właściwością, którą możemy odnaleźć w przyrodzie, architekturze, muzyce, etc. to tzw. złota liczba (złoty podział, stosunek, środek, sposób, boska proporcja, podział, środek Fidiasza). Owa złota liczba to – w przybliżeniu – 1,618. Kiedy podzielimy dwie dodane przez siebie liczby ciągu, większą od mniejszej, na przykład 8/5 lub 89/55, to zawsze otrzymamy jeden wynik: 1,618. Złotą liczbę oznacza się grecką literą φ (czyt. „fi”). Złoty kąt wynosi 137,508o. Złoty podział wyznacza odcinek, w którym większa część pozostaje w takiej samej relacji do mniejszej, jak całość do większej.

Ciąg inspirowany życiem codziennym

Zastanawialiście się kiedyś dlaczego tak trudno znaleźć czterolistną koniczynę? Powód jest bardzo prosty. Jeśli mamy do czynienia z roślinami, które nie były poddane żadnym mutacjom, to liczba ich kwiatów będzie odpowiadała liczbie Fibonacciego, w której nie występuje liczba cztery.

Z kolei, biorąc pod uwagę proces ulistnienia, czyli tzw. spiralnej, filotaksji, to okazuje się, że wyrastające czy to liście czy gałęzie, wzrastają zgodnie z liczbą Fibonacciego i jest to podyktowane między innymi tym, aby poszczególne liście czy gałęzie nie przykrywały siebie nawzajem. Dzięki temu maksymalnie wykorzystują powierzchnię potrzebną do czerpania słońca i deszczu. Ten określony sposób „wzrostu” możemy również zaobserwować patrząc na kształt muszli, tych morskich i ślimaczych, obserwując kształt galaktyk spiralnych czy huraganów.

Podobnie rzecz ma się w budowie i proporcjach ludzkiego ciała. Człowiek posiada dwie kończyny: górną i dwie dolne. Posiada także pięć zmysłów, trzy otwory w głowie (oczy i usta), trzy wypustki głowy (uszy i nos) oraz w znacznej większości, pojedyncze organy. Idealne ludzkie ciało ma zachowane proporcje zgodne z ciągiem Fibonacciego. Dlaczego? Stosunek wzrostu człowieka do odległości od stóp do pępka, koniuszków palców do łokci, od łokcia do nadgarstka wynosi w każdym przypadku 1,618  phi (φ). Idąc dalej – ludzkie płuca czy spirale DNA również zachowują „złote proporcje”. Komórka rakowa również swoim kształtem przypomina ciąg Fibonacciego. Mało? Popatrzmy na budowę dłoni człowieka. Mamy dwie ręce, z których każda składa się z pięciu palców. Osiem palców składa się z trzech paliczków, a dwa kciuki składają się z dwóch paliczków.

Przy poszukiwaniu liczby Fibonacciego czy złotego podziału zaleca się jednak wykorzystanie zasady złotego środka – czyli wszystko z umiarem, rozsądkiem, bo osób, które chcą znaleźć liczby tego ciągu, to nic bardziej prostszego!

"Jeśli obsesyjnie czegoś szukasz, twój mózg przefiltruje rzeczywistość w taki sposób, że odnajdziesz to gdziekolwiek!"

- cytat z filmu „Pi” z 1998 roku, reż. Darren Aronofsky

Matematyczne problemy – czyli sprawdź się sam!

Dla zainteresowanych polecamy trzy zadania, z którymi borykał z Leonardo z Pizy:

1. Dwa ptaki wylatują w tym samym momencie ze szczytów dwóch wież, odległych od siebie o 50 metrów. Wysokość jednej wieży wynosi 30 metrów, a drugiej 40 metrów. Lecąc z tą samą prędkością dolatują w tym samym momencie do fontanny, usytuowanej na prostej pomiędzy dwiema wieżami (na poziomie gruntu). W jakiej odległości od podstawy każdej wieży znajduje się fontanna?
2. Kupiec podczas swojej podróży handlowej do Wenecji podwoił tam swój początkowy kapitał, a następnie wydał 12 denarów. Potem udał się do Florencji, gdzie znowu podwoił liczbę posiadanych denarów i wydał 12. Po powrocie do Pizy po raz kolejny podwoił swój majątek, wydał dwanaście denarów i ... został bez grosza. Ile denarów miał na początku?
3. Trzech dworzan miało swoje udziały w pewnej kwocie pieniędzy: udział pierwszego wynosił 1/2, drugiego – 1/3, a trzeciego – 1/6 całości. Każdy ze współudziałowców pobrał ze wspólnej kasy pieniądze–niezbyt uczciwie: nie zostało nic. Następnie pierwszy z nich zwrócił połowę tego, co zabrał, drugi–jedna trzecią, a trzeci – jedną szóstą. Powstałą kwotę podzielono na trzy równe części i dano po jednej trzem dworzanom. Okazało się, że każdy z nich miał wówczas dokładnie tyle pieniędzy ile mu przysługiwało. Ile pieniędzy było w kasie na początku, ile pobrał każdy z nich?

 

Kamil Sikora

___________________

Ciekawe? Przeczytaj także: 

1. Mistrz Polikarp dyskutuje ze śmiercią
2. iPlasticity – druga młodość mózgu?
3. Czym jest krzyżowanie roślin? Gatunki dzikie i stworzone przez człowieka