Wśród badań prowadzonych na wydziale kluczową rolę odgrywają z jednej strony dziedziny wywodzące się z analizy matematycznej, uprawianej w Krakowie na wysokim poziomie od dawna, z drugiej zaś, dyscypliny z pogranicza matematyki i informatyki. Szkolenie przyszłych kadr zapewnia udział wydziału w trzech dużych projektach: Międzynarodowym Projekcie Doktoranckim „Geometria i topologia w modelach fizycznych", Środowiskowych Studiach Doktoranckich z Nauk Matematycznych oraz Interdyscyplinarnych Studiach Doktoranckich „Społeczeństwo – Technologie – Środowisko".

• Analiza funkcjonalna. W ramach tej dziedziny, stanowiącej od czasów Stefana Banacha polską specjalność, badane są przestrzenie liniowe nieskończenie wymiarowe wyposażone w dodatkowe struktury. Na wydziale intensywnie studiowane są obiekty znajdujące zastosowanie zarówno w matematyce, jak i w fizyce teoretycznej, zwłaszcza w mechanice kwantowej: operatory w przestrzeniach Hilberta, Kreina i Banacha, algebry Banacha i von Neumanna.

• Analiza zespolona. Korzenie tej dyscypliny tkwią w XIX-wiecznych studiach nad liczbami naturalnymi. Obecnie, obok klasycznych obszarów analizy zespolonej wielu zmiennych, na wydziale prowadzone są prace nad jej nowymi gałęziami, stosowanymi w fizyce i geometrii, gdzie główne narzędzie stanowi – intensywnie obecnie badane w świecie – zespolone równanie Monge'a-Ampère'a.

• Geometria algebraiczna. Dziedzina ta, która wyrosła z badań układów równań wielomianowych, jest jednym z najintensywniej rozwijających się działów współczesnej matematyki. Prace prowadzone na wydziale dotyczą rozmaitości Calabiego-Yau, odgrywających podstawową rolę w fizycznej teorii superstrun. Zainspirowana tą teorią hipoteza symetrii lustrzanej przewiduje, że każda z nich ma swoje odbicie, z którym łączą ją niezwykłe i ciągle nie do końca zrozumiałe związki.

• Informatyka analityczna. Dyscyplina ta zajmuje się badaniem algorytmów. Uzyskane wyniki mają zarówno charakter teoretyczny (złożoność obliczeniowa), jak i praktyczny (rozwój oprogramowania). W ramach badań uzyskano na przykład algorytmy rozpoznające tablice rejestracyjne poruszających się aut. Trwają badania nad możliwością zastosowania podobnych technik w diagnostyce medycznej.

• Matematyka komputerowa. Badania w tej dziedzinie koncentrują się wokół analizy numerycznej układów dynamicznych przy użyciu topologii i arytmetyki przedziałowej, pozwalając w szczególności na wykrywanie chaosu. Dotychczasowym ich efektem jest licząca ponad 60 tys. linii kodu biblioteka do ścisłej analizy zachowania się rozwiązań równań różniczkowych, używana przez badaczy na całym świecie.

Badania w naukach matematycznych mają bardziej indywidualny charakter niż w pozostałych dyscyplinach ścisłych, toteż współpraca z innymi ośrodkami rzadko przybiera charakter instytucjonalny.

Dowodem na żywe kontakty pomiędzy uczonymi wydziału i światową czołówką są prace napisane w ostatnich latach wspólnie z matematykami, fizykami i informatykami z czołowych (wg rankingów) uniwersytetów świata, takich jak Princeton, Paris 6, Texas A&M, Georgia Institute of Technology, Rutgers, Tel Aviv, Colorado, Paris 7, Pennsylvania, Toronto, Illinois, TU Berlin, Vanderbilt, Hannover i wiele innych, a także liczne wizyty informatyków i matematyków z UJ na tych oraz innych, podobnej klasy uczelniach.

Prof. Sławomir Kołodziej – najważniejsze wyniki jego badań dotyczą istnienia rozwiązań zespolonego równania Monge'a-Ampère'a z osobliwościami i pozwalają konstruować przestrzenie o zadanej krzywiźnie Ricciego, w tym ważne dla fizyki teoretycznej przestrzenie Kählera-Einsteina. Rezultaty te czołowi światowi matematycy, jak laureat medalu Fieldsa, Simon Donaldson (Imperial College London) i Gang Tian (Princeton University), zastosowali do wykazania długo otwartych hipotez w geometrii zespolonej. Obecnie kieruje projektem badawczym Maestro.

Prof. Wojciech Kucharz – prowadzi badania w zakresie geometrii algebraicznej i analitycznej rzeczywistej. Najważniejsze z uzyskanych przez niego wyników, dotyczące modeli algebraicznych rozmaitości gładkich i wiązek na rozmaitościach algebraicznych, były wykorzystywane przez wybitnych uczonych, takich jak János Kollár (Princeton University), Selman Akbulut (Michigan State University) i Henry C. King (University of Maryland). Jego aktualne prace wytyczają nowy kierunek badań nad zjawiskami opisywanymi przez funkcje wymierne ciągłe.

Prof. Marian Mrozek – zyskał światowe uznanie jako współautor pierwszego komputerowo wspieranego dowodu istnienia chaosu w słynnych równaniach Lorenza, który dał początek trwającym do dziś badaniom nad zastosowaniem komputerów do ścisłej analizy dynamiki. Jego grupa naukowa jest w tej specjalności światowym liderem. Jest jednym z niewielu uczonych, na cześć których skomponowano piosenkę – Motyliadę do słów Michała Zabłockiego i z własną muzyką wykonał kilka lat temu Grzegorz Turnau.

Prof. Jan Stochel – specjalizuje się w teorii operatorów nieograniczonych w przestrzeniach Hilberta. Najważniejsze wyniki jego badań, uzyskane wspólnie z Franciszkiem H. Szafrańcem, dotyczą nieograniczonych operatorów subnormalnych, zespolonego problemu momentów, dylatacji unitarnych układów kontrakcji i wielomianów ortogonalnych. W ostatnich latach bada przesunięcia ważone na drzewach skierowanych.

W ostatnich latach wybitne osiągnięcia zanotowali również młodsi pracownicy wydziału. Dr Sławomir Dinew, badający zespolone równanie Monge'a -Ampère'a, wykazał w szczególności jedyność jego rozwiązań. Udowodnił też twierdzenie typu Calabiego-Yau dla szerszej klasy równań hesjanowych. Studia nad rozmaitościami Calabiego-Yau prowadzone przez dr. Michała Kapustkę okazały się z kolei szczególnie ważne dla wywodzącej się z teorii superstrun hipotezy symetrii lustrzanej. Wyniki prac badawczych dr. Marcina Kozika dotyczące złożoności obliczeniowej problemu spełnialności więzów dostarczyły informacji o czasie działania programów komputerowych wykorzystywanych w badaniach sztucznej inteligencji i studiach nad bazami danych.

Zorganizowany w 2012 roku szósty Europejski Kongres Matematyki stał się najważniejszym wydarzeniem dekady promującym Kraków jako ważny ośrodek nauk matematycznych. O informatyce i matematyce uniwersyteckiej głośno jest również dzięki sukcesom studentów w Akademickich Mistrzostwach Świata w Programowaniu Zespołowym (ACM-ICPC) – złotemu medalowi z roku 2006 i brązowym zdobytym w latach 2011 i 2013 – oraz dzięki indywidualnym i zespołowym laurom (pięciokrotnie zdobyte nagrody główne) w Międzynarodowym Konkursie Matematycznym dla Studentów (IMC–US). Osiągnięcia te stawiają wydział w rzędzie czołowych instytucji w Europie kształcących młodych naukowców.